확률에 대한 기본 정리

Why Bother About Probabilities?

---

- 측정의 모호함 때문에 불확실성에 대한 해석은 의사결정하는데에 있어 중요한 요소가 된다.

- 확률이론은 불확실성을 설명하기 위한 적절한 메커니즘이다.

- 사전지식을 고려해야 한다. 예를 들면 대서양에서 낚시를 한다면 농어보다 연어가 잡힐 확률이 높다라는 것.

Definitions

---

Random experiment

- 결과가 확실치 않은 실험들 (e.g. 주사위 던지기)

Outcome

- Random experiment의 결과

Sample space

- Outcome의 집합 (e.g. {1,2,3,4,5,6})

Event

- Sample space의 부분집합 (e.g. 주사위를 던져 홀수가 나올 경우 = {1,3,5})

Intuitive Formulation of Probability

---

사건 a의 확률을 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 P는 Probability를, n은 시도 횟수를, N(a)는 n번 시도하여 a가 나올 확률을 의미한다.

Axioms of Probability

---

(1) , 해석하면 사건 a의 확률은 0과 1사이. 이때 1은 앞서 정의했던 Sample space의 값이다.

(2) , 위에서 말했듯 Sample space가 1임을 뜻한다. Sample space는 모든 P(x)의 집합이기 때문이다.

Sample space

(3) 만약 이 상호배타적인 사건이라면(i.e 즉, 서로 겹치는게 없다면) 아래와 같이 볼 수 있다.

그리고 를 로 나타낼 수 있다.

Unconditional (Prior)  Probability

---

어떠한 증거도 없는 사건의 확률을 뜻한다.

"P(Grade A)=0.3"이 뜻하는 바는 다른 정보가 없다면 A 학점을 받을 사건의 확률은 0.3이다.

Conditional (Posterior)  Probability

---

몇가지 증거가 주어진 사건의 확률을 뜻한다.

"P(Grade A | Midterm 100) =0.8"이 뜻하는 바는, 중간고사에서 100점을 받으면 A 학점을 받을 확률은 0.8이다.

이걸 조건부 확률이라 하는데 조건부 확률의 공식은 여러 버전으로 쓸 수 있는데 베이즈 정리를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. 앞으로 자주 쓰게 될 것이다.

 여기서 한단계 더 나아가는 길도 있는데 일단 지금은 여기까지만 보자.